Matematik og Computer Algebra System

Matematisk svagt funderede elevers arbejdhukommelse, stresses af, at de skal forholde sig til og vælge mellem forskellige værktøjer i deres opgaveløsning (multitaske) (Tracy & Ross Alloway, Arbejdshukommelse, DPF 2014). Dette svarede helt til mine egne observationer, og danner grundlag for et forsøg gjort med en klasse i årene 2010 – 2013.

Spørgsmålet vi stillede os dengang var; “hvordan får vi matematisk svagt funderede elever til at arbejde med matematik, på sådan en måde, at de scorer en højere karakter end forventet?” Med svagt fundererede elever, mente vi elever der manglede forudsætninger for at kunne forstå matemaikkens grundbegreber af forskellige årsager eller havde senhjerneskader.

stress

Når eleven arbejder med opgaver i matematik anvendes mange forskellige redskaber. Vi valgte at samle det hele i én brugerflade.

Ud fra samtaler og  observationer af vores elever dannede vi fire principper;

Vores første princip var at samle opgave og elevens løsning digitalt samme sted, således at vi reducerede elevens behov for at mutitaske mellem valget af værktøjer. Til det formål valgte vi at anvende Maple Computer Algebra System (MC), som er et matematisk digitalt multimedialt kladdehæfte. MC’s brugerflade består af en række paneler med værktøjer og nogle simple ordre, samt mulighed for at indbinde film, aktive regneark, GeoGebra, blande tekst og udregning etc.

MC giver ligeledes eleverne muligheden for, at gemme alle deres arbejder digitalt og senere anvende disse arbejder som noter til deres skriflige afgangsprøve, frem for det madpakkeindfedtede kladdehæfte der alligevel bliver smidt ud i sommerferien.

Vores andet princip var, at vi lærte de svagt funderede elever at søge efter ledeord der kunne identificere opgavetypen og dermed hjælpe dem med, at fastslå hvilke værktøjer der skulle anvendes i opgaveløsningen. Vi søgte altså ikke mod forståelse, men søgte en automatisk udløsning af muligheder, når de så bestemte typer af ord, tegninger etc. Vi vidste godt at vi derved  oparbejdede en black-boxing-effekt, men valgte den instrumentelle tilgang med det formål, at eleverne løst af forståelsen nu, senere kunne arbejde med forståelsen der hvor det var nødvendigt.

Det tredje princip var, at eleverne arbejdede i grupper, idet vi mener at dialog fremmer forståelsen og lysten til at arbejde med matematik. Vi oprettede studiegrupper og eleverne oprettede selvhjælpsgrupper, hvor det var helt legalt både at hjælpe hinanden og dele resultater med hinanden. Det benyttede de sig af i stort omfang. I starten misbrugte eleverne muligheden, og lånte resulaterne af klasssens dygtigste elev. Det ophørte dog hurtigt, da eleverne foretog en slags selvjustits, hvor de blev enige om at alle måtte bidrage.

Det tredje princip drejede sig om, at få eleverne til at reflektere over egen læring i en atmosfære af dialog, ros og konstruktiv kritik, digitalt, sagt og nedskrevet.

Det fjerde princip, og nok det vigtigste, var at MC gav os mulighed for at løfte matematikken ud af tid og sted. Vi mente at matematik, ud fra samtaler med eleverne, ikke er noget de med fordel arbejdede med i bestemte tidsrum, men var tre lærere der sad tre aftener på skift (nogen gange fire) til kl. 23. med et formål, at hjælpe eleverne når de havde lyst og mulighed. (Af og til var arbejdet så intens, at vi fortsatte sammen med eleven til efter kl. 24.) MC har en primitiv indbygget chat-funktion der til fulde dækker behovet.

Der ligger en fælde her; for at arbejde med CAS skal man først undervises i CAS. (her MC.) Mange bliver her – underviser i CAS og ikke med, og reproducere matematikbogens opgaver. CAS-systemer giver mulighed for at arbejde med undersøgende matematik, fordi eleven ikke skal viske ud og starte forfra, men blot indtaste nogle nye parametre og aflæse konsekvenserne af disse – også uden at forstå matematikken. Det giver to fordele; den første er, at svageste elever føler sig mere jævnbyrdige med de bedre og derfor også tør bidrage, den anden fordel er at man nemt og hurtigt kan udarbejde undersøgelser der interesserer eleverne (eksv. hvilke typer mobiltelefoner har skolens elever?, eller; hvor mange af anden etnisk baggrund går der på skolen?)

Det tilbageværende problem er black boxing, altså den problemstilling, at eleverne ikke forstår den matematik der ligger bag deres arbejde, men kun kan anvende den. Vi forsøgte at imødegå black boxing-problematikken ved at lave studiegrupper og lade eleverne søge sammen i online selvhjælpsgrupper, samt benytte sig af lærerordningen med hjælp til sent om aftenen.

Vi havde ikke nogen kontrolgruppe, så vi kan ikke komme med en udtalelse om, om det vi gjorde var det udslagsgivende for deres endelige prøvekarakter. Men vi kan konkludere, at klassen, i modsætning til de to klasser der fik normal klasseundervisning, lå to karakterer højere i gennemsnit. Tager vi de udfordrede elever for sig, var gennemsnittet lidt lavere, men dog væsenligt over de af eleverne der var udfordrede, fra de to andre klasser.

På grundlag af erfaringerne med klassen anvender vi nu Maple i alle klasser, på nær afgangsklasserne i år.

I den rigtige verden

med tak til Alice Keeler

Ånd og dannelse er to tilsidesatte begreber, for kun den viden der kan måles, vejes og anvendes effektivt værdsættes. I stedet anvendes begreber som kompetencer og evidens, beskrevet og tilpasset i klare forenklede mål, synlig og læringsmålstyret undervisning. At skolen ikke står selv, men udledes af samfundets behov gør ikke længere skolen til et åndens værksted, men en sydkoreansk bleg afbilding der skal styrke den nationale konkurenceevne.

Lærerne, og samfundets forståelse, decimeres fra lærer til undervisningsvejleder. Den faglige autoritet udhules og dannelsestanken skylles ud med badevandet, for den kan ikke måles og vejes. Men netop dannelse og ånd er et aktiv, der ikke kan erstattes af kompetence og evidens. Skolerne bør ikke uddanne til markedet.

Livskvalitet handler om ånd og almen dannelse. Mennesket er ikke støv alene. Det gennemtrænges af ånd, som Grundtvig skrev. Derfor handler det om at blive uddannet til det ‘rigtige’ liv, hvor man tager ansvar for sig selv og sine, men også for det samfund, man deltager i. Uden dannelse og ansvar synker vi videre ned i et morads af konflikter og ligegyldighed. Ånd kan ikke måles ikke vejes, og åndrighed kan være farlig. Viden gennem uddannelse i et historisk og kulturelt perspektiv kan skabe modstand og tanker, for åndrighed kan være et aktiv men også et forår der tændes og rykker ved det bestående – og det kan vi jo ikke have, vel?

… Med lån fra Netto – MIL? Derfor!

Der skal leveres og ydes, måles og vejes, når lærere går på arbejde. Reformen har øget kravene til undervisningsinstitutionernes effektivitet og produktivitet, og samtidig er forventningerne til, at underviserne har både hjerne og hjerte på rette sted særdeles høje. I højt tempo skal lærerne være professionelle til fingerspidserne, velforberedte og informerende, samt en inkluderende socialarbejder.

At man udtrykker sin professionalisme eller forholder sig til sin professionelle identitet sker ofte implicit i ens arbejde, samarbejde og opgaveløsning, og det er for de fleste svært at formulere og gøre til genstand for læring. Uddannelsesmæssigt stiller det store krav. Udfordringen er at uddanne kommende lærere til at arbejde professionelt under reformen på en måde, der sikrer høj undervisningsstandard, samt sikrer ordentlige arbejdsforhold for lærerne.

Undervisernes arbejdsopgaver er komplekse og foregår ofte i hektiske og uforudsigelige arbejdsmiljøer. Der er krav om høj grad af evne til at reflektere i arbejdet. Der er bred enighed i litteraturen om, læs eksv. Læringens Univers af Mads Hermansen, at for lærere er refleksion en væsentlig og central kompetence at erhverve sig og gøre brug af. Når man ønsker at lave bevidste, uddannelses- fokuserede refleksioner, kan det være nyttigt at gøre brug af en bred og detaljeret definition af refleksionsbegrebet. Man kan gøre brug af akademisk refleksion – altså skabe overblik ved tillæst og diskuteret eller nedskrevet viden – eller personlig refleksion.

En måde at få den personlige refleksion i brug på som læringsmetode er at gøre brug af historier fra hverdagen. Gennem historierne fra vores undervisning udtrykkes vores identitet og professionelle omgang med arbejdet, eleverne og kollegerne, og vores sprog og fortællinger kan derfor gøres til genstand for udvikling og læring. Med andre ord kan det at fortælle sine hverdagshistorier til kollegaer og sammen med dem reflektere over historiernes mening og betydning, være en metode at lære professionelle
kompetencer på.

Uddannelsesinstitutinerne bør understøtte og styrke lærernes refleksion over deres undervisning – med henblik på, at elevernes læringsudbytte bliver størst muligt, både på sociale og faglige områder. Formålet er, at det vil styrke elevernes læring, hvis lærerne er bevidste om og reflekterer over mål, metoder og evaluering, og hvis lærerne bruger teamsamarbejdet til at udveksle erfaringer og analyser og drøfte forslag til handlemuligheder.

Det koster tid, det koster penge. Men de er givet godt ud. Lærere erhverver også kompetencer uden for deres professionelle liv. Undervisere er lærere for livet og lærer og underviser til og i det omkringliggende samfund. De opnår de menneskelige evner, der gør dem i stand til at agere professionelt, når de tager del i de sociale relationer i klubben, i familien og blandt venner og kolleger, samt når de læser skønlitteratur og faglitteratur, hører musik eller bliver bedre til it. Men gratisprincippet holder ikke hele vejen. Lærere, og andre undervisere, har brug for at reflektere og blive inspireret uden for deres arbejdsplads. Det giver nyt liv og nye måder at anskue undervisning og tilgang til læring, der kan være en fordel for institutionerne. Al gøren er viden, al viden er gøren – enhver videnshandling frembringer en verden (Maturana og Varda).

At lade nogle dedikerede undervisere deltage i et struktureret studie i, og en anvendelse af, refleksion som læringsmetode, ville kunne give konkrete erfaringer og anbefalinger, samt gøre det nemmere at få metoden ind i lærernes uddannelseskultur. Det kunne f.eks. gøres ved at inddrage underviserne i vejledning og lade dem indsamle erfaringer og gode ideer. Empiri af den slags kunne bruges til at bakke op om den professionelle rolles værdi og betydning i en uddannelsesmæssig sammenhæng.

Med lån fra Netto – MIL, derfor!

… og ned på jorden igen.

Her på MIL skrives om didaktiske og pædagogiske læringsteorier. Fjernes teorierne kan man observere, at når elever med få eller ingen it-færdigheder deltager i it-understøttede forløb, hvor underviseren benytter sig af en uhensigtsmæssig pædagogik, så er der en stor risiko for, at eleverne bliver usikre og forvirrede. Det kræver ingen teori! Indsigten kommer af almindelig sund fornuft (og om ikke andet, så med erfaringen).

Konsekvensen kan være, at modtagerne af undervisningen ikke får det ud af det, som var intentionen. Men nok så vigtigt, kan det have den konsekvens, at eleverne får den fejlagtige opfattelse, at de ikke kan lære det der var det egentlige mål med undervisningsforløbet. Et dårligt it-understøttet undervisningsforløb kan i realiteten skabe en så negativ karma, at eleverne er dårligere stillet, end de var før undervisningen. Det skaber frustrationer, og elever der opgiver at deltage i undervisningsforløb med samme basisindhold. Ydermere danner det grundlag for en spiral, hvis den samme underviser fortsætter med slet planlagte forløb, hvor eleven opgiver et helt fag, eller lærer alt for lidt i forhold til tidsforbruget.

Hvis eleven er utryg, eller føler sig dum, fordi han/hun ikke forstår underviserens forklaringer eller anvisninger, eller hverken kan huske, hvad der skal tastes eller klikkes på, har eleven langt sværere ved at lære noget, og bliver blind overfor den information, som står på skærmen, det på trods af nok så didaktisk designede læringsportaler eller informationskilder. Eleven bliver utryg, eller ligefrem opgivende, og opfatter derfor ikke ret meget. Forudsætningen for effektiv læring er tryghed og selvtillid.

Nogle elever er mere eller mindre selvhjulpne, hvilket betyder, at de lærer sig selv  at bruge de pågældende værktøjer og løse opgaven og formår at få læring ud af det – ikke på grund af den it-understøttede undervisning, men reelt på trods af det. Igen! Sund fornuft, erfaring og simpel observation fortæller underviseren, at noget skal laves om!

Hvad der skal laves om, afhænger af meget. Lærerens forståelse for de værktøjer underviseren anvender, her menes ikke alene forståelse for it-værktøjerne, men også forståelsen for klassedynamikken og den deraf nødvendige didaktik og pædagogik. Den afhænger af de enkeltes elevers modenhed og dagsform, inklusionsprocent, af nettets tilgængelighed og et fornuftigt antal af it-redskaber til eleverne. Basalt … og helt nede på jorden.

Meen, når alt dette spiller, så er det godt at have teorierne til at gøre undervisningen spændende og facetteret!

Sticks and stones will break my bones. But words will never harm me… so very oldstyle!

Hangout med MIL gruppe 11. Snak om stilladsering af elevers reflektion, om fordybelse og diskussion om dannelse, om læringsportaler og om iPads contra computer, om hvornår vi starter med reflektionlæringen i skolen? Er bloggen et ‘voksen-værktøj’?

Om refleksion

Hvornår skal eleverne præsenteres for det at reflektere? Vi er enige om, at det er vigtig at guide dem i startfasen, således de senere  kan reflektere over egen læring, og vi er enige om at tage udgangspunkt i Piagets udviklingstrin.

Hvis vi begynder at udvikle en reflektions-tankegang i den konkret- operationelle fase (ca 6.- 11 år), kan vi drage nytte af at det, ifølge Piaget, er her barnet udvikler evnen til, og sprogligt kan give udtryk for, logisk og systematisk tænkning, Det er her barnet udvikler evnen til at se en situation fra flere perspektiver, og tænke reversibelt.

Hvis vi forskyder arbejdet med reflektionstankegangen til barnets formelt operationeller periode (fra ca. 11 år og frem) kan vi drage nytte af, at barnet i denne fase begynder at tænke logisk, abstrakt og forestille sig  ting, der ikke er der. Barnet kan opstille hypoteser, tanker og forestillinger. Barnet kan desuden arbejde med syllogismer som “mor kan ikke flyve, stenen kan ikke flyve, ergo mor = sten” og tænke over sin egen tænkning.

Piaget mener, at barnet nu handler overfor den fysiske omverden på samme måde som den naturvidenskabelige forsker, og det forholder sig til problemer som en lille logiker.(miniforskning)

I de digitalt sociale forbindelser mennesker imellem, kan man med ovennævnte i mente, inddrage det kritikpunkt af Piagets fasetænkning, at han ikke gør noget ud af den emotionelle udvikling som grundlag for den sociale intelligens. Uomtvisteligt spiller den emotionelle udvikling en rolle i de undervisningskollektiver, man har som grundlag i det danske undervisningssystem, og de kollektiver der inddrages i fritidsaktiviteter men også i de sociale medier (Facebook eksv:), og ligeså uomtvisteligt spiller de sociale relationer derfor ind på evnen til at reflektere over egen rolle, og dermed egen indlæring (mennesket skal have nogen at forholde sig til/sammenligne sig med).

Berit og Thomas arbejder begge med elevernes refleksionsdannelse. Thomas skriver i sin blog, at hans elever i startfasen i 5. klasse arbejder med tre refleksionsspørgsmål:

– Nævn en god ting fra ugens arbejde.
– Nævn en mindre god ting.
– Er der noget jeg kunne gøre bedre/anderledes.

Tre åbne spørgsmål, som åbner op for en reflektion, men ikke styrer deres reflektion i en bestemt retning, umidelbart. Vi berørte vigtigheden af det åbne spørgsmål, for faren, men også opgaven for læreren som et, til en hvis grad, en samfundsbevarende og samfundsbærende institution, ligger i, at eleven ikke lærer ‘ægte refleksion’ men kun en ‘ønsket reflektion’. (Selv de åbne spørgsmål der præsenteres her, indebærer en ‘ønsket reflektion’, bl.a. qua spørgsmålenes plus-ord)

iPads og computer

Apps (f.eks Skriv og Læs, Book Creator og  Læseguld) og læringsportaler (f.eks Clio Online og Alinea) bygger et slags stillads omkring elev og underviser, så de ikke ”vælter”, men præsenterer dem også kun for ‘ét rigtigt udsagn’.

Clio Onlines portal er eksemplet, hvor især genkendeligheden og årsplaner er vigtige for både elever og lærere, men hvor eleverne (og lærerne!) kun præsenteres for én måde at anskue et tema på – i sagens natur ikke så mærkeligt, set i lyset af at portalen skal spare underviseren for forberedelsestid, og samtidigt skabe et (forsimplet) overblik for både underviser og elev, og derfor ikke skal være for omfangsrig.

Bloggen – et voksenværktøj?

Om bloggen er et voksenværktøj, lader vi stå hen i det uvisse. I gruppen talte vi om, at i de tekster gruppen har taget udgangspunkt i, synes man at tage udggangspunkt i allerede reflekterende, og ikke i – som det er  naturligt for vores arbejdsfelter, børn og unge, de præ-reflekterende.

Afrunding

Tilbage står tre folkeskolelærere og en gymnasielærer samt tilgangsvinklen matematik, komunikation it og dannelse. Men hvorfor udgangspunkt i matematik og dannelse?

Børn skal lære at tænke logisk, børn skal lære at tænke abstrakt, og mennesket skal lære matematik – ikke for matematikkens skyld, men fordi evnen til refleksion er så afgørende for at kunne klare sig i en tid, hvor menneske-til-menneske-relationer skiftes ud med digitalt sociale relationer. Trods de mange forbindelser (connections) bliver mennesket uforpligtende ensom, og kan skifte ham og personlighed i sin præsentation af sig selv, personligheden behøves ikke at blive taget alvorligt men ved heller ikke hvem der skal tages alvorligt – tilbage står to redningskranse; refleksion og dannelse.

Nb! Overskriften hentyder det indirekte uberørte emne cybermobning, et spørgsmål om dannelse. Et ordsprog fra dengang, hvor der var større problemer i verden, end hvilke ord og kommentarer man læser i sin blog eller på sin sociale profil. I den digitale tidsalder lader det til, at ord er et mægtigt sværd der kan svinges blindt og i det skjulte.