Byggende på de to foregående indlæg om at undervise i og med CAS, specifikt med CAS-systemet Maple pga, dets multimediale muligheder og programmets kommunikative aspekter, vil jeg her beskrive et forløb byggende på tanken om; at undersøgende matematik underbygger og forstærker elevens indsigt og forståelse af matematik som en metode, gennem dialog og refleksion. Afslutningsvis vil jeg kommentere på bloggen som refleksions- og præsentationsværktøj i folkeskolen.
I følgende forløb beskrives, med udgangspunkt i en 8. klasse, et samarbejde om et forløb mellem en klasse på et erhvervsakademi, et matematikhold på et lærerseminar og en 8. klasse i en folkeskole. Forløbet beskrives som eksemplarisk. Dialog og refleksion mellem institutionernes elever, foregår ved, at hver klasse skriver blog og tager fotografier. Bloggen indeholder refleksion over egen indsats, beskriver ‘dagens arbejde’ og fremkomne resultater. Desværre er bloggen nedlagt, men billeder og beskrivelse af forløbet tilgængeligt.
Udgangspunktet for eleverne på alle tre institutioner var, at de skulle undersøge ‘bjælkens bøjning’ ud fra de tilstedeværende matematiske erfaringer de forskellige uddannelser danner basis for. Således kan man påstå, at læreruddannelsen og folkeskolens elever har tilnærmelsesvis samme udgangspunkt, mens erhvervsakademiets elever har et forventeligt andet matematisk udgangspunkt. Således tog lærerseminar og folkeskole udgangspunkt i et mikrokosmos, hvor eleverne undersøgte et 5 m. langt bræts bøjning vha parabelfunktioner, mens erhversakademiets elever undersøgte i byggematerialer og stålbjælker vha formlen: Umax = (q*L³)/(48*E*I).
Elever fra 9. klasse undersøger sammenhængen mellem vægt og brættets bøjning, og om denne sammenhæng kan udtrykkes i en parabelfunktion.
Projektets elever anvendte samme type digitale værktøjer, men ikke de samme værktøjer. De digitale værktøjer klasserne anvendte i projektet var, regneark, CAS, dynamisk geometrisk software, blogplatforme og billedbehandlingsprogrammer. I 8. klassen anvendtes Excel regneark, Maple CAS, GeoGebra, WordPress skoleblog og Irfanview billedbehandling.
Formålet med at indgå i et samarbejde var, at vise eleverne at den undersøgende matematik kunne have et konkret berettiget formål, og derved udvikle elevernes modelleringskompetence ved, at kunne bedømme foreliggende modellers rækkevidde og holdbarhed i forhold til det felt eller den situation, som de arbejder i, og til selv at kunne udføre aktiv modelbygning i en given sammenhæng, dvs. at bringe matematik i spil og anvende den til behandling af anliggender uden for matematikken selv.
Modelleringsprocessen forløber således; 1) Et indledende omverdensfænomen indskrænkes til et simplificeret og velstruktureret fænomen. I denne fase analyseres og tolkes der blandt andet på, hvilke variable, der kan/bør indgå i problemstillingen og hvilken rolle disse skal spille. 2) fænomenet ”oversættes” til en passende matematisk repræsentation, der ved matematisk manipulation forhåbentlig kan lede til en beskrivelse af matematiske sammenhænge. 3) Repræsentationen for den matematiske sammenhæng ”oversættes” til hverdagssproget i omvedenssituationens kontekst. 4) Repræsentationen for den matematiske sammenhæng ”oversættes” til hverdagssproget i omvedenssituationens kontekst.
Empiri
8. klassen består af 11 drenge og 13 piger i alderen 13 – 14 år. Klassen kan beskrives som en normalklasse (der er ingen endelig definition på, hvad begrebet normalklasse dækker, men der er en bred holdning til, at det er; hvad der er bedst muligt for flest mulige børn.), med rolige og urolige elever, med elever der har svært ved eller let ved fagene, osv. 20 % af klassen er 1. eller 2. generations indvandre, hvoraf to har semantiske problemer.
Intentionen med undervisningen er, at arbejde med en matematisk problemstilling, der skal vise eleverne, at matematik kan tage udgangspunkt i en reel situation, og at de ud fra deres målinger, kan slutte sig til en generel regel eller lovmæssighed. Endvidere at støtte elevernes arbejde med at udvikle en selvstændig problemløsning og modellering vha IT-værktøjerne GeoGebra og regneark, derved på sigt at danne grundlag for en eksperimenterende og undersøgende arbejdsform. Sekundært kaster projektet af sig, at eleverne beskæftiger sig med andengradspolynomiet og dets værdier, som er den del af slutmål.
Problemstillingen
Klassen inviteres ind i en semiautentisk problemstilling. De skal “`lege”‘ bygningskonstruktører, der skal bygge verdens højeste bygning. Til brug for dette får de at vide, at de har brug for at undersøge hvad der sker, når man centralbelaster en bjælke.
Elevernes motivation og nysgerrighed fordrer, før de kan behandle opgaven, en samtale om høje bygninger generelt, om elevatoreres konstruktion i svingende bygninger, en undersøgelse af Storstrømsbroens udvidelse og sammentrækning, og om materialer anvendt til konstruktionen af bygningsværker. Storstrømbroens (og Mønbroens) buer danner (bue- og bjælkebroer) samtidigt et udgangspunkt for samtaler om parabelbuen.
For at opnå målet for både emne- og kompetencevalg, får klassen yderligere stillet følgende spørgsmål: Hvilken kurve dannes ved belastning af en bjælke? Ideen med dette spørgsmål er, at ved at centralbelaste et bræt løst hvilende på to støttepunkter med en given afstand, vil den opståede tilnærmelsevise parabelbue danne grundlag for klassens undersøgelse af, og arbejde med bjælkens nedbøjning. Klassen har en forforståelse, gennem arbejde med 2.dengradspolynomiet tidligere.
Klassen opfordres til at anvende den viden, de allerede har erhvervet sig om andengradspolynomiet og dets værdier, samt til at anvende geogebra i deres arbejde. Eleverne er bekendt med at ax² kaldes for andengradsleddet, bx for førstegradsleddet og c for konstantleddet. Ideen med at undersøge og finde en simpel model af en bjælkes nedbøjning vha GeoGebra, kommer derfor til at afhænge af konstantleddet som afgør bjælkens nedbøjning op og ned af 2.den-aksen (hvis vi forudsætter at bjælkens bøjning kan afbildes som en parabelbue i et koordinatsystem, hvor centralbelastningspunktet udgør toppunktet).
Med andre ord; det primære formål er at undersøge bjælkens nedbøjning, sekundært arbejder klassen med andengradspolynomiet i Geogebra som en del af løsningsværktøjet.
Bloggens funktion
For at fastholde eleverne i en mundtlig præsentation af emnet, bliver de bedt om at tage noter og nedskrive deres resultater i en blog der deles, samt undervejs tage fotografier af og præsentere deres arbejder og resultater.
Det forløber ikke problemfrit for 8. klassen, idet de finder det grænseoverskridende at skulle skrive og dele arbejde og fremskridt med ‘voksne’ elever. Ret hurtigt finder de ud af, at deres arbejde og deres indsats tåler sammenligningen, og de tilgår arbejdet med større sikkerhed.
Bloggen er en arbejds-blog, dvs. den afspejler den aktuelle situation og har elevernes umiddelbare interesse, fordi den kan fremvise og dokumentere deres metoder og resultater, også overfor andre interesserede ud over de her nævnte deltagere. Således introduceres familie og venner fra nær og fjern, til at se hvad der sker. Efter at projektet er afsluttet, termineres interessen og de besøgendes antal falder brat.
Bloggen hjælper eleverne med at efterbearbejde og reflektere mens de skriver, ved at der opstår en sproglig bevidsthed omkring de matematiske fænomener de bearbejder. Selvsagt ligger det i undervisningssituationens natur, hvor fag afløser fag, at eleverne ikke efterreflektere med mindre det er en del af skolearebejdet (lektie).
Arbejdet
Eleverne delte sig i grupper af fire, og diskuterede hvorledes de skulle løse opgaven, og hvad der skulle måles. Med kendskab til klassen, vidste vi, at det at opleve matematikken på kroppen er vigtigt for dens indelevelse og forståelse af opgaven. Klassen anvendte 2 m lange lærkebrædder, bænke og målebånd og deres egen vægt (målt på skolelægens vægt) som de parametre der blev målt på.
Eleverne udarbejdede derefter en metode til at løse problemstillingen, en art drejebog, de herefter forsøgte at følge. Eleverne opstillede forsøgene, målte, fotograferede, nedskrev deres måleresultater, overførte resulaterne i Maple og modellerede en løsning i GeoGebra. Modellen syntes at vise sammenhængen mellem belastningen af brættet og en parabelbues toppunkt (at den fremkomne spændning ikke er en parabelbue, vælger vi at se bort fra).
Under udarbejdelse af modellen støder de lærende på forskellige vanskeligheder, der skal løses undervejs. Eksempelvis skal gruppen finde en kommunikationsform, der kan få alle med. Samlingspunktet for kommunikationen bliver de valgte værktøjer Maple og GeoGebra og søgningen efter en løsningsmodel, der kan bruges. Det tekniske bag brugen af værktøjet har eleverne delvist på plads, derfor er det ikke noget der optager dem synderligt.
Præsentation
Løsningsmæssigt udarbejder og præsenterer eleverne en praktisk, simpel model i GeoGebra, hvor de nok erkender at den fremkomne model synes at være et billede af en parabelbue, men alene benytter sig af konstantleddets forskydning op eller ned ad 2.-aksen.
En illustration udarbejdet i GeoGebra, der illustrere brættets bøjning ved at vægten angives vha. en skyder
Efter at klassen havde opstillet en model, tog klassen fat på at validere deres målinger ved at holde deres løsning op mod formlen for bjælkens nedbøjning, og fandt at deres løsninger ikke passede!.
Klassen ræssonerede, at det var deres arbejde, det var galt med, idet en formel der erfaringsmæssigt er valid og bruges af ingenører ikke tager fejl! Klassen valgte derpå at gå deres eget arbejde efter i sømmene, og opstillede en sammenligningstabel i et regneark, der viste nedbøjningen fra 1 til 80 kg. Dernæst foretog de meget præcise opmålinger af bræt og nedbæjning – lige meget hjalp det.
Andre overvejelser kom i spil. Den vigtigste overvejelse var, at under deres første undersøgelse havde brættet været vådt, og nu var det gennemtørt – havde det nogen indvirkning på elasticiteten, og dermed for værdien af elasticitetsmoduet? Efter at havde slået fænomenet op på internettet, fandt de at brættets fugtindhold var af afgørende betydning, og rettede derefter værdien til, og opstillede et nyt regneark. Nu passede regnearkets værdier med deres model (og alle, ikke mindst underviseren, var lettet).
Afrundning af projekt
Projektet afsluttedes med en lille spørgeskemaundersøgelse, hvis udkomme kort sagt var; IT-værktøjerne er en stor hjælp, når der skal udregnes en mængder af resultater på kort tid, men at værktøjerne ikke hjælper med til at forstå matematikken. Der er underviserens forklaringer uundværlige. De opfatter IT-værktøjerne som hjælperedskaber de ikke ville undvære, og som hjælper dem med at skabe et hurtigt overblik over deres opgave.
I en efterfølgende diskussion om hvordan projektet havde fungeret, diskuterede vi; hvad kunne vi bruge det til? Kunne eleverne inddrage deres nye viden til deres nærmiljø? Det skal bemærkes, at eleverne selv var kommet til den konklusion, at gymnastiksalens eftergivende gulv, måtte være et resulatet af sådanne overvejelser, og at det kunne være interessant og se hvorledes det var konstrueret. Der ud over fandt de projektet godt og lærende. Projektet havde styrket deres kendskab til og anvendelse af regneark, Maple og GeoGebra.
En afsluttende bemærkning om at arbejde med med bloggen som præsentationsplatform.
Hvad vi ikke har været inde på, et at bloggen i sin præsentation af indhold kræver nogle designmæssige og indholdmæssige overvejelser, men også i sin udadrettede kommunikation byder et grænseoverskridende problem for nogle.
Designmæssigt er det vigtigt at bloggen tager udgangspunkt i sit tiltænkte publikum. I klassens tilfælde lod de bloggen have en traditionel opbygning med header-logo, indholdsfortegnelse i venstre side og brødtekst, billeder etc. i højre. Farverne var afdæmpede og teksten stod på hvid baggrund. Fonten var uden fødder, da klassen havde undersøgt, at det var lettest at læse på skærm.
Ved at tage ovennævnte hensyn, mente klassen at de kunne tilgodese både venner, forældre og de ‘voksne medelever‘. Kommunikationen var sober og uden kraftudtryk, men beskrev arbejdet nøgternt – dog med det i mente, at da også forældre var inviteret til at læse bloggen, var nogle gruppers arbejde meget beskrivende, både med hensyn til hvad de arbejdede med men også med hensyn til, hvorledes matematikken skulle forstås.
Retrospektivt skulle jeg havde ladet alle grupper arbejde med denne kommunikationsmodel. De grupper der arbejdede på denne måde, havde også de største refleksioner over eget arbejde og lærte derved mest.
Bloggen blev, som så meget andet i elevernes medieforbrug, et øjebliksbillede der blev afløst af andre projekter, og da vi først var færdige med projektet fandt de ingen brug for mediet igen, og glemte den. Bloggen er altså et arbejdsredskab der skal vedligeholdes og anvendes jævnligt, hvis det skal have en betydning for eleven.
Bloggen fungerer ikke som dagbog, og ikke som refleksionsværktøj for eleverne, hvis ikke den har et formål og en kommunikation. Formål var i ovennævnte forløb givet, men indhold og form blev først interessant for eleverne, da en egentlig kommunikation mellem dem og de ‘voksne medelever’ fandt sted, og de på samme måde turde kommunikere med dem.
Bloggen konkurrere med hurtigere og mere overfladiske medier som Twitter, Tumblr og Snapchat, hvilket for mine elever i folkeskolen, er et mere tillokkende medie, da det ikke kræver meget, er hurtigt og altid forandrer sig. Aldersgruppen er selviscenesættende og ikke mentalt som person færdigtudviklede, men er stadig i et vadested hvor de skal finde sig selv.
“One flaw in human character is that everybody wants to build, and nobody wants to do maintenance.” ~K. Vonnegut
Det er 2015 og de sociale medier er nu den primære form, til at kommunikere mellem elever (og andre!). At kommunikerer på sociale medier er tidskrævende, så det er bedst at fokusere indsatsen mod den platformen, der når dine elever. Du starter ved at kende elevernes aldergruppe, og derefter vælge den platform, der matcher klassen demografisk. Dette bør ikke være den eneste faktor i beslutningen om din primære platform , men det er en god start. Top-webstederne er : Facebook, Twitter, Instagram, Pinterest og Linkedin.
Når forskning går nye veje
Her på MIL skrives om didaktiske og pædagogiske læringsteorier. Fjernes teorierne kan man observere, at når elever med få eller ingen it-færdigheder deltager i it-understøttede forløb, hvor underviseren benytter sig af en uhensigtsmæssig pædagogik, så er der en stor risiko for, at eleverne bliver usikre og forvirrede. Det kræver ingen teori! Indsigten kommer af almindelig sund fornuft (og om ikke andet, så med erfaringen).
Velkommen til min "Schlemmerkiste"! 